“咦....谐振子居然有两个解析解？”

随后他又看向了一旁同时在计算的胡宁和朱洪元二人，问道：

“老胡，洪元同志，你们的结果呢？”

胡宁朝他扬了扬手中的算纸：

“我也是两个解。”

朱洪元的答案同样简洁：

“我也是。”

见此情形，老郭不由眯了眯眼睛。

他所计算的是SO(1)和SO(3)群的粒子数算符，虽然前置条件是单粒子态的算符只取决于延迟时刻的位置和速度，但这个假设其实和现实几乎无异。

而根据计算结果显示。

这个模型在数学上具备两个解析解，对应的是量子所述的玻色子规范场。

其中一个解析解对应的自旋为1，另一个解析解对应的自旋则为0。

而自旋为零在场论中对应的便是.....

标量概念。

这其实很好理解。

量子场论中使用的的自然单位进行计算，真空中的光速c=约化普朗克常数??=1，时空坐标x=(x??，x??，x??，x??)=(x，y，z，it)=(X，it)，偏微分算符??=（????，????，????，????）=（??/??x，??/??y，??/??z，??/i??t）=(??，-i??t)=(▽，-i??/??t)

狭义相对论的能量动量关系式是E??=P??+m??，让能量E用能量算符i??/??t替换，动量P用动量算符??i▽替换，就可以得到-????/??t??=-▽??+m??，即▽??-????/??t??-m??=0

让它两边作用在波函数Ψ上得（????-m??）Ψ=0，这就是大名鼎鼎的克莱因-戈登场方程。

算符????在洛伦兹变换下是四维标量，即??'??=????静质量的平方m??是常数。

要使克莱因-戈登场方程具有洛伦兹变换的协变，即将方程（????-m??）Ψ=0时空坐标进行洛伦兹变换后得到的（??'??-m??）Ψ'=0形式不变，唯一要求就是洛伦兹时空坐标变换后的波函数Ψ'=Ψ就达到目的了，这样的场叫标量场。

如果让洛伦兹变换特殊一点，保持时间不变，而在空间中旋转，这样旋转后的波函数Ψ'（X'，t）=exp(-iS·α)Ψ(X，t)。

这就是说在时间t不变的情况下，波函数Ψ（X，t）的空间坐标矢量X在角动量S方向旋转无穷小α角后变成矢量X'。

而波函数Ψ（X，t）变成exp(-iS·α)Ψ(X，t)=Ψ'(X'，t)，并且Ψ(X，t)=Ψ'(X'，t)。

唯一的办法就是让自旋角动量S=0，这说明克莱因-戈登场方程描述的场粒子自旋为零。